Matemático resuelve uno de los problemas más complejos de la geometría combinatoria

Matemático resuelve uno de los problemas más complejos de la geometría combinatoria
de Ciencia Kanija de Kanijo


Un matemático de la Facultad de Artes y Ciencias de la Universidad de Indiana ha resuelto un problema de hace 65 años de la geometría combinatoria, que buscaba determinar en número mínimo de distancias distintas entre cualquier conjunto finito de puntos en un plano.


El trabajo del Profesor del Departamento de Matemáticas de la IU Nets Hawk Katz, Junto a Larry Guth del Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey, logró lo que muchos pensaban que era inalcanzable: Resolver el Problema de Distancias Distintas de 1946 de Paul Erdös.

“Si alguien te da algunos conjuntos de puntos distintos, puedes calcular el conjunto de diferencias. El problema es determinar cuál es el conjunto mínimo posible de distancias”, dice Katz. “Lo que hicimos fue demostrar que no importa cómo coloques los N puntos, el número de distancias es, al menos, una constante N/log N veces.

Aquí, N representa el número de conjuntos finito de puntos. En un logro histórico, Katz y Guth fueron capaces de alcanzar el exponente de 1, lo que se pensaba que era imposible.

Basándose en décadas de trabajo realizado por otros, Katz y Guth examinaron el problema dentro de un grupo de movimientos rígidos del plano y usaron la geometría Euclidiana para ver el problema de la distancia como uno lineal en tres dimensiones. Introduciendo dos nuevas ideas a la demostración existente, ambos mejoraron exponencialmente el límite inferior rescrito más recientemente de 0,8641, una marca que Katz hacía ayudado anteriormente a obtener.

Guth y Katz fueron capaces de combinar el método algebraico con un resultado procedente de la topología, conocido como el teorema polinomial del sándwich de jamón, que se usó para crear una descomposición celular que arrojó los resultados deseados cuando la mayor parte de los puntos estaban en el interior de las células, mientras que en el caso contrario podían manejarse por el método algebraico.

La nueva demostración usó una reformulación geométrica del problema original que fue ideada por Gyorgy Elekes (Universidad de Eotvos, Hungría) y Micha Sharir (Universidad de Tel Aviv). Usando este marco de trabajo, Katz y Guth implementaron el teorema polinomial del sándwich de jamón para crear un nuevo tipo de descomposición celular que deja los puntos del plano en el interior o en las paredes de las células.

“Este procedimiento tiene lo que ha resultado ser la ventaja de no terminar siempre en una descomposición”, señala Katz. “En lugar de esto, hay una dicotomía. Logramos una descomposición extremadamente eficiente que proporciona los teoremas de incidencia que queremos, o la alternativa, que el procedimiento falle y la mayor parte de líneas estén en el conjunto cero de un grado polinomial bastante bajo. Ésta es una alternativa aceptable, debido a que nos permite aplicar el método algebraico”.

El profesor de matemáticas de UCLA y ganador de la Medalla Fields, Terence Tao, dice que el trabajo es “impresionante” y la base para posteriores avances.

“Ahora que sabemos que dos de las herramientas más potentes de la geometría de incidencia combinatoria – la descomposición celular el método polinomial – pueden combinarse para dar unos resultados casi perfectos que están fueran del alcance de cada método por separado, parece que merece la pena volver a visitar el resto de problemas estándar sobre el tema y ver si podemos mejorar los resultados parciales de estos problemas un poco más”, escribe sobre la recientemente descubierta dicotomía durante una revisión de la demostración.

La geometría combinatoria, un campo que tiene aplicaciones de gran alcance en áreas tan diversas como el desarrollo de medicamentos, la planificación del movimiento de robots y los gráficos por ordenador, examina propiedades discretas tales como simetría, plegamiento, empaquetamiento, descomposición y teselado asociadas con la combinación de objetos geométricos.

Janos Pach, editor jefe de la revista Discrete and Computational Geometry y uno de los colaboradores más frecuentes de Erdös, describe el artículo en un blog personal como “un gran logro”. “Vamos a celebrar este fantástico desarrollo”, escribe.

Erdös creó un premio de 500 dólares para cualquiera que llegase a la solución del problema de la distancia, que se ha considerado desde hace mucho tiempo como uno de los problemas más difíciles de la combinatoria geométrica. Hasta ahora nadie había reclamado el premio. Pero en una reciente reunión de la Sociedad Matemática Canadiense, Ron Graham, científico jefe del Instituto de California para Telecomunicaciones y Tecnologías de la Información, y la persona a cargo del premio desde la muerte de Erdös, acordaron tras un debate con los asistentes que el descubrimiento garantizaba un premio de 250 dólares.

“El límite inferior es del orden N/(log N) en lugar del óptimo N/(log N)^{{1/2}}, pero el exponente – que es la potencia de N en el numerador – es justo 1”.

Katz, que llegó a la IU en 2004, tiene una Licenciatura en matemáticas por la Universidad de Rice y es doctor en matemáticas por la Universidad de Pennsylvania. Guth es miembro de la Facultad de Matemáticas en el Instituto para Estudios Avanzados.

El artículo, “On the Erdös distinct distance problem in the plane”, está actualmente disponible aquí, en el archivo de borradores electrónico de arXiv y ha sido enviado para su publicación a Annals of Mathematics, considerada una de las revistas matemáticas más prestigiosas del mundo. El trabajo de Katz estuvo parcialmente patrocinado por la Fundación Nacional de Ciencia.

No me cansaré de escuchar a este hombre...

Y una copia...que no me digno ni a calificarla...que crimen por Dios.

Llega Febrero...

Tenía esto olvidado, pero es que febrero tira mucho, aunque uno no sea de Cádiz. Aquí dejo un par de joyas de hace unos años

Niño, eso no se toca...

Me encanta este tio, con Heroes, solo...pero niño, a este no se le toca. Como se ha cargado el Rezaré...

Ole por el Nobel.

Aquí dejo un articulo del nuevo nobel de Literatura, defensor de los docentes y de la enseñanza pública.

http://www.elpais.com/articulo/opinion/Prohibido/prohibir/elpepuopi/20090726elpepiopi_12/Tes

Hace ya de esto algunos años vi en París, en la Televisión Francesa, un documental que se me quedó grabado en la memoria y cuyas imágenes, de tanto en tanto, los sucesos cotidianos actualizan con restallante vigencia.

El documental describía la problemática de un liceo en las afueras de París, uno de esos barrios donde familias francesas empobrecidas se codean con inmigrantes de origen subsahariano, latinoamericano y árabes del Magreb. Este colegio secundario público, cuyos alumnos, de ambos sexos, constituían un arco iris de razas, lenguas, costumbres y religiones, había sido escenario de violencias: golpizas a profesores, violaciones en los baños o corredores, enfrentamientos entre pandillas a navajazos y palazos y, si mal no recuerdo, hasta tiroteos. No sé si de todo ello había resultado algún muerto, pero sí muchos heridos, y en los registros al local la policía había incautado armas, drogas y alcohol.

El documental no quería ser alarmista, sino tranquilizador, mostrar que lo peor había ya pasado y que, con la buena voluntad de autoridades, profesores, padres de familia y alumnos, las aguas se estaban sosegando. Por ejemplo, con inocultable satisfacción, el director señalaba que gracias al detector de metales recién instalado, por el cual debían pasar ahora los estudiantes al ingresar al colegio, se decomisaban las manoplas, cuchillos y otras armas punzo-cortantes. Así, los hechos de sangre se habían reducido de manera drástica. Se habían dictado disposiciones de que ni profesores ni alumnas circularan nunca solos, ni siquiera para ir a los baños, siempre al menos en grupos de dos. De este modo se evitaban asaltos y emboscadas. Y ahora el colegio tenía dos psicólogos permanentes para dar consejo a los alumnos y alumnas -casi siempre huérfanos, semihuérfanos, y de familias fracturadas por la desocupación, la promiscuidad, la delincuencia y la violencia de género- inadaptables o pendencieros recalcitrantes.

Lo que más me impresionó en el documental fue la entrevista a una profesora que afirmaba, con naturalidad, algo así como: "Tout va bien, maintenant, mais il faut se débrouiller" ("Ahora todo anda bien, pero hay que saber arreglárselas"). Explicaba que, a fin de evitar los asaltos y palizas de antaño, ella y un grupo de profesores se habían puesto de acuerdo para encontrarse a una hora justa en la boca del metro más cercana y caminar juntos hasta el colegio. De este modo el riesgo de ser agredidos por los voyous (golfos) se enanizaba. Aquella profesora y sus colegas, que iban diariamente a su trabajo como quien va al infierno, se habían resignado, aprendido a sobrevivir y no parecían imaginar siquiera que ejercer la docencia pudiera ser algo distinto a su vía crucis cotidiano.

En esos días terminaba yo de leer uno de los amenos y sofísticos ensayos de Michel Foucault en el que, con su brillantez habitual, el filósofo francés sostenía que, al igual que la sexualidad, la psiquiatría, la religión, la justicia y el lenguaje, la enseñanza había sido siempre, en el mundo occidental, una de esas "estructuras de poder" erigidas para reprimir y domesticar al cuerpo social, instalando sutiles pero muy eficaces formas de sometimiento y enajenación a fin de garantizar la perpetuación de los privilegios y el control del poder de los grupos sociales dominantes. Bueno, pues, por lo menos en el campo de la enseñanza, a partir de 1968 la autoridad castradora de los instintos libertarios de los jóvenes había volado en pedazos. Pero, a juzgar por aquel documental, que hubiera podido ser filmado en otros muchos lugares de Francia y de toda Europa, el desplome y desprestigio de la idea misma del docente y la docencia -y, en última instancia, de cualquier forma de autoridad-, no parecía haber traído la liberación creativa del espíritu juvenil, sino, más bien, convertido a los colegios así liberados en el mejor de los casos, en instituciones caóticas, y, en el peor, en pequeñas satrapías de matones y precoces delincuentes.

Es evidente que Mayo del 68 no acabó con la "autoridad", que ya venía sufriendo hacía tiempo un proceso de debilitamiento generalizado en todos los órdenes, desde el político hasta el cultural, sobre todo en el campo de la educación. Pero la revolución de los niños bien, la flor y nata de las clases burguesas y privilegiadas de Francia, quienes fueron los protagonistas de aquel divertido carnaval que proclamó como eslogan del movimiento "¡Prohibido prohibir!", extendió al concepto de autoridad su partida de defunción. Y dio legitimidad y glamour a la idea de que toda autoridad es sospechosa, perniciosa y deleznable y que el ideal libertario más noble es desconocerla, negarla y destruirla. El poder no se vio afectado en lo más mínimo con este desplante simbólico de los jóvenes rebeldes que, sin saberlo la inmensa mayoría de ellos, llevaron a las barricadas los ideales iconoclastas de pensadores como Foucault. Baste recordar que en las primeras elecciones celebradas en Francia después de Mayo del 68, la derecha gaullista obtuvo una rotunda victoria.

Pero la autoridad, en el sentido romano de auctoritas, no de poder sino, como define en su tercera acepción el Diccionario de la RAE, de "prestigio y crédito que reconoce a una persona o institución por su legitimidad o por su calidad y competencia en alguna materia", no volvió a levantar cabeza. Desde entonces, tanto en Europa como en buena parte del resto del mundo, son prácticamente inexistentes las figuras políticas y culturales que ejercen aquel magisterio, moral e intelectual al mismo tiempo, de la "autoridad" clásica y que encarnaban a nivel popular los maestros, palabra que entonces sonaba tan bien porque se asociaba al saber y al idealismo. En ningún campo ha sido esto tan catastrófico para la cultura como en el de la educación. El maestro, despojado de credibilidad y autoridad, convertido en muchos casos en representante del poder represivo, es decir, en el enemigo al que, para alcanzar la libertad y la dignidad humana, había que resistir, e, incluso, abatir, no sólo perdió la confianza y el respeto sin los cuales era prácticamente imposible que cumpliera eficazmente su función de educador -de transmisor tanto de valores como de conocimientos- ante sus alumnos, sino de los propios padres de familia y de filósofos revolucionarios que, a la manera del autor de Vigilar y castigar, personificaron en él uno de esos siniestros instrumentos de los que -al igual que los guardianes de las cárceles y los psiquiatras de los manicomios- se vale el establecimiento para embridar el espíritu crítico y la sana rebeldía de niños y adolescentes.

Muchos maestros, de muy buena fe, se creyeron esta degradante satanización de sí mismos y contribuyeron, echando baldazos de aceite a la hoguera, a agravar el estropicio haciendo suyas algunas de las más disparatadas secuelas de la ideología de Mayo del 68 en lo relativo a la educación, como considerar aberrante desaprobar a los malos alumnos, hacerlos repetir el curso, e, incluso, poner calificaciones y establecer un orden de prelación en el rendimiento académico de los estudiantes, pues, haciendo semejantes distingos, se propagaría la nefasta noción de jerarquías, el egoísmo, el individualismo, la negación de la igualdad y el racismo. Es verdad que estos extremos no han llegado a afectar a todos los sectores de la vida escolar, pero una de las perversas consecuencias del triunfo de las ideas -de las diatribas y fantasías- de Mayo del 68 ha sido que a raíz de ello se ha acentuado brutalmente la división de clases a partir de las aulas escolares. La enseñanza pública fue uno de los grandes logros de la Francia democrática, republicana y laica. En sus escuelas y colegios, de muy alto nivel, las oleadas de alumnos gozaban de una igualdad de oportunidades que corregía, en cada nueva generación, las asimetrías y privilegios de familia y clase, abriendo a los niños y jóvenes de los sectores más desfavorecidos el camino del progreso, del éxito profesional y del poder político.

El empobrecimiento y desorden que ha padecido la enseñanza pública, tanto en Francia como en el resto del mundo, ha dado a la enseñanza privada, a la que por razones económicas tiene acceso sólo un sector social minoritario de altos ingresos, y que ha sufrido menos los estragos de la supuesta revolución libertaria, un papel preponderante en la forja de los dirigentes políticos, profesionales y culturales de hoy y del futuro. Nunca tan cierto aquello de "nadie sabe para quién trabaja". Creyendo hacerlo para construir un mundo de veras libre, sin represión, ni enajenación, ni autoritarismo, los filósofos libertarios como Michel Foucault y sus inconscientes discípulos obraron muy acertadamente para que, gracias a la gran revolución educativa que propiciaron, los pobres siguieran pobres, los ricos ricos, y los inveterados dueños del poder siempre con el látigo en las manos.

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Aquí dejo un video de mis criaturitas

Una JUERGA GENERAL

Viva el Selu que lo ha visto claro siempre: atención al estribillo.